Modelos cuantitativos de análisis de rutas de flujos. Riesgo de inundación

 

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Actualmente en el análisis de los procesos de la superficie de la Tierra los modelos digitales del terreno (MDT) tienen un papel importante. Estos modelos son un conjunto de datos cuantitativos de la morfología del terreno. Al disponer de información topográfica almacenada informáticamente en una matriz de datos espaciales de altura, pendiente y orientación del terreno es posible la aplicación de diferentes algoritmos espaciales que simulen procesos físicos sobre estos modelos. El análisis de rutas óptimas según las características de la topografía del relieve almacenada en los Modelos Digitales de Elevaciones (MDE) ha sido objeto de interés por la comunidad de las geociencias. Los algoritmos de análisis de rutas de flujos se utilizan para modelar las rutas de masas y energías a través del terreno. Hay varios métodos según las características físicas del elemento que se desplaza y la manera que tiene de desplazarse por el territorio. El agua, por ejemplo, se mueve a través del terreno de manera diferente a los sedimentos. Los modelos de análisis de rutas de flujos más utilizados son modelos simplificados de transporte. El único modelo ideal para el flujo de agua en el terreno es la solución completa a las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes, pero modelar el desplazamiento, en un modelo topográfico complejo, con estas ecuaciones necesita de grandes recursos y mucho tiempo por lo que no es funcional. El reto de los algoritmos de análisis de rutas de flujos consiste en desarrollar un conjunto de algoritmos que simulen el desplazamiento de las masas y las energías a través del MDE, de manera que se acerquen lo máximo posible a los complejos procesos del flujo de los fluidos en la realidad, y que esto se realice de manera funcional.

Estos algoritmos ayudan a explicar la dinámica geomorfológica del territorio. La mayoría de los modelos de evolución del terreno, por ejemplo, suponen que la erosión o el transporte de sedimentos es una función del área de descarga o drenaje de las rutas a través de cada píxel del MDE. Por tanto, la mayoría de los modelos de evolución del terreno requieren un algoritmo de análisis de rutas de flujos para cuantificar la erosión y el transporte de sedimentos. Los algoritmos de análisis de rutas de flujos también son importantes para modelar el transporte de contaminantes en los sistemas fluviales.

Algoritmos

Algoritmos de dirección única

Los algoritmos de rutas de flujos más simples son los algoritmos de dirección individual. Estos algoritmos suponen que todo el flujo entrante se desplaza por gravedad en la dirección de la ruta de máxima pendiente (bajada más pronunciada). Por “flujo”, generalmente nos referimos a la descarga desde el área contribuyente. Sin embargo, estos modelos son generales y pueden aplicarse a cualquier componente que se mueva, que fluja, a través del terreno

El algoritmo D8 (O'Callahan y Mark, 1984) funciona buscando en los ocho vecinos (incluidas las diagonales) la línea del terreno con una pendiente descendente más pronunciada. Todo el flujo desde el píxel central se acumula en ese píxel. Al usar este algoritmo para calcular el área contribuyente en cada punto dentro de una cuadrícula, cada píxel se inicializa primero para tener un área contribuyente igual a (Δx)2, donde x es el ancho del píxel. Luego, se desplaza a través de la cuadrícula de manera sistemática (por ejemplo, desde la celda superior izquierda a la inferior derecha), la ruta de descenso más pronunciada se calcula desde cada píxel hasta el límite exterior del MDE, aumentando el valor del área contribuyente en (Δx)2 en cada píxel a lo largo cada camino recorrido. Un problema con el algoritmo D8 es que las rutas de flujo predichas por este algoritmo tienen segmentos que están obligados a ser múltiplos de 45°. Como las vías de flujo en la naturaleza pueden adoptar cualquier orientación, no pueden depender de la propiedad rectangular del MDE fuente. El algoritmo D8 tienda a dar como resultado rutas de flujo excesivamente rectas, ya que orientación del terreno debe desviarse al menos 45° para que el algoritmo D8 cambie la dirección del flujo.

El algoritmo ρ8 (Fairfield y Laymarie, 1991) intenta superar el problema de las rutas de flujo excesivamente rectas del algoritmo D8. El algoritmo ρ8 asigna aleatoriamente el flujo desde la celda de la cuadrícula central a uno de sus vecinos con pendiente descendente (incluidas las diagonales) con una probabilidad proporcional al gradiente. Aunque este algoritmo produce menos rutas de flujo rectas, sigue restringiendo los segmentos de la ruta para que sean múltiplos de 45°. Además, este algoritmo no da lugar a una respuesta única sino múltiple, lo que es un problema para muchas aplicaciones.

Hay un problema más importante que las orientaciones restringidas de los algoritmos D8 y ρ8, estos algoritmos modelos suponen implícitamente que los flujos son convergentes, cuando en la naturaleza, el flujo divergente, por ejemplo, es común en las laderas y en entornos de canales de distribución. Aquí el flujo se extiende con la distancia aguas abajo en lugar de concentrarse. En MDE de poco detalle esto no es un problema importante, pero con la precisión de los MDE actuales sí. El análisis de rutas de flujo en estos MDE de alta resolución requiere algoritmos de análisis de rutas de flujo de múltiples direcciones que dividan el flujo desde un punto central en múltiples píxeles descendentes.

Algoritmos de dirección múltiple

El algoritmo de Dirección de Flujo Múltiple (DFM) de Freeman (1991) fue el primer algoritmo para dividir el flujo en múltiples píxeles de pendiente descendente. En este algoritmo, el flujo de entrada en un píxel central se divide en todos los píxeles de pendiente descendente, ponderados por la pendiente. Para implementar esta técnica, los píxeles deben procesarse en un orden específico. En este y en la mayoría de los otros algoritmos de dirección de flujo múltiple, los píxeles deben procesarse desde las elevaciones más altas hasta las más bajas. Dado que la masa y la energía se mueven cuesta abajo por gravedad, el procesamiento desde píxeles de altitud más elevada hasta los pixeles más bajos garantiza que todo el flujo que entra en un píxel desde la parte superior se haya calculado antes de que el flujo se divida según la pendiente descendente. Para implementar este algoritmo, primero se debe crear una lista de índice que clasifique los píxeles MDE de mayor a menor. Esta lista clasificada se puede calcular de manera muy eficiente utilizando el algoritmo de clasificación rápida (Press et al., 1992). Matemáticamente, el algoritmo DFM se puede escribir como:

donde ∫i es la fracción del flujo entrante dirigido a cada uno de los píxeles vecinos, S es la pendiente o gradiente entre el punto central y cada uno de sus vecinos (indexado por i y j) y p es un parámetro libre. Hay que recordar que es necesario corregir hidrológicamente el MDE rellenando previamente los “hoyos” para que el algoritmo funcione correctamente.

Los algoritmos de análisis de rutas de flujo de dirección simple y de dirección múltiple dan como resultado distribuciones espaciales muy diferentes de flujo en los abanicos aluviales y en las laderas, donde el flujo divergente es importante. Ambos métodos de calculo del desplazamiento de un flujo en el relieve son aproximaciones a la distribución real del flujo, pero el método DFM es más realista porque tiene en cuenta que la distribución del flujo depende continuamente de la forma topográfica, mientras que el método de descenso por la línea de máxima pendiente solo depende de la topología de la red de drenaje. Por ejemplo, el método de descenso por la línea de máxima pendiente no distingue, siempre que tengan la misma topología de redes de drenaje, entre valles suaves y anchos y valles estrechos y empinados. Por el contrario, el método DFM sí tiene en cuenta tanto la topología como la hipsometría del relieve.

Además del método DFM, hay otros algoritmos de dirección múltiple como son el DEMON y D∞. Estos algoritmos son similares al algoritmo de descenso más pronunciado en el sentido de que suponen que el flujo dentro de un píxel tiene una dirección bien definida. Sin embargo, en lugar de forzar la dirección del flujo a un múltiplo de 45° los algoritmos DEMON y D∞ calculan una dirección de flujo que puede adquirir cualquier valor entre 0 y 360°. El algoritmo D∞ (Tarboton, 1997) calcula la dirección del descenso más pronunciado en función de las pendientes de ocho facetas triangulares determinadas por el píxel central y los pares de píxeles adyacentes. Posteriormente, el flujo se divide entre dos de las ocho direcciones más cercanas a la orientación calculada, ponderado por su diferencia angular con respecto a la orientación. Por ejemplo, si se determina que la dirección de flujo para un píxel determinado es 10° al Norte desde el Este, entonces 35/45 partes del flujo se desplazan al píxel hacia el Este y 10/45 partes del flujo se desplazan al píxel al Noreste.

En el algoritmo DEMON (Costa-Cabral y Burges, 1994), los valores de elevación de la cuadrícula se toman como esquinas de píxeles y las direcciones de flujo se basan en la orientación de una superficie plana ajustada a cada píxel. Como en el algoritmo D∞, el flujo se divide en los dos vecinos más cercanos a la dirección del flujo.

Varios estudios (Erskine et al., 2006. “Comparison of grid-based algorithms for computing upslope contributing area”) han realizado pruebas de comparación de diferentes algoritmos de análisis de rutas de flujo utilizados para calcular el área contribuyente. En general, estos estudios respaldan el uso de algoritmos de dirección de flujo múltiple sobre algoritmos de dirección de flujo único para todas las aplicaciones.

Hay que comentar que no existe un consenso sobre cuál es el mejor de los algoritmos de dirección de flujo múltiple. Al presentar su algoritmo D∞, Tarboton (1997) argumentó que el algoritmo DFM crea demasiada "dispersión". Es decir, el flujo se extiende más rápidamente con la distancia aguas abajo de lo que sucede en la realidad. Sin embargo, no hay un sustento sólido para concluir que el DFM da lugar a un exceso de la propagación del flujo aguas abajo. Al idear el algoritmo DFM, Freeman (1991) comenzó con la hipótesis de que el flujo en una forma de relieve simple y simétrica, como un cono, debe obedecer la simetría del cono. Al suponer que hay una dirección principal de flujo para todos los píxeles, los algoritmos DEMON y D∞ violan esa hipótesis de flujo simétrico. En las divisiones, por ejemplo, donde el flujo tiende a dirigirse más o menos de igual manera en dos direcciones opuestas, los algoritmos DEMON y D∞ “obligan” de manera poco realista a que el flujo discurra en una dirección principal. El mismo sesgo ocurre en canales que se bifurcan en dos direcciones separadas más de 45°.

En la siguiente imagen se compara los algoritmos D∞ y DFM para un MDE de 1 m de píxel de una de las paredes de un cráter en Marte. Esta forma de relieve está dominada por una pendiente de entre 20-35° orientada al Noroeste, con canales longitudinales de 1 m de profundidad. Ambos algoritmos producen distribuciones espaciales similares, pero el algoritmo MFD crea una distribución un poco ''más uniforme'', consistente con el hecho de que el flujo descendente de tal pendiente generalmente se dividirá entre tres píxeles de pendiente descendente (norte, noroeste y oeste) en lugar de solo dos como en el método D∞.

En el libro Quantitative Modeling of Earth Surface Processes ante este ejemplo se preguntan: ¿Qué mapa es más correcto? Para ello se debe recordar que el objetivo de los algoritmos de análisis de rutas de flujo es imitar el flujo de agua (o algún otro componente de masa o energía) a través del terreno. Se concluir que ambos algoritmos están limitados por el hecho de que no incluyen ninguna información sobre la profundidad de flujo. En terrenos relativamente planos, como una pendiente de un cráter, la extensión del flujo a través y hacia abajo de la pendiente dependerá de la relación entre la profundidad del flujo y la profundidad del canal. Si las profundidades de flujo son comparables o mayores que las profundidades del canal, el flujo se distribuirá ampliamente a través de la pendiente. Por el contrario, si las profundidades del flujo son pequeñas en relación con las profundidades de los canales, el flujo estará relativamente concentrado en los canales.

Aplicación de algoritmos de análisis de rutas de flujo para estimar el riesgo de inundación

Como hemos visto el inconveniente principal de todos los métodos de análisis de rutas de flujo es que no incorporan profundidad de flujo. El recorrido de un flujo depende en gran parte de la cantidad de agua que fluye por el terreno. Esto se puede apreciar, por ejemplo, cuando la profundidad de un flujo, en una zona canalizada, excede la capacidad del canal. En estas situaciones el flujo se desviará hacia una llanura de inundación. Dado que el DFM y otros métodos de análisis de rutas de flujo de múltiples direcciones modelizan la ruta del flujo de acuerdo con la pendiente del lecho y no incorporan la profundidad del flujo, predicen rutas válidas unicamente para casos de profundidad de flujo pequeñas. En muchos casos, modelar el comportamiento detallado de los eventos de inundación individuales de flujos de profundidad elevada es complejo y costoso temporal y en cuanto a recursos. En muchas ocasiones puede ser útil tener un método de análisis de rutas de flujo que conserve la simplicidad del método DFM, pero que también sea capaz de resolver las diferentes rutas de flujo que ocurren cuando las profundidades de flujo exceden el área de la sección transversal local del canal.

El modelo DFM se puede implementar de forma iterativa para tener en cuenta los efectos de las profundidades de flujo en las rutas de flujo. La idea básica es determinar primero las rutas de flujo en condiciones de flujo poco profundo utilizando el método de análisis de rutas DFM básico. Para posteriormente modificar el MDE al incluir a la topografía del terreno original un pequeño incremento altitudinal del flujo anterior. Así se aplica nuevamente el algoritmo en el nuevo MDE obteniendo una nueva dirección de flujo en esta segunda iteración del DFM. El modelo DFM se ejecutará nuevamente de manera iterativa modifciandose el MDE en cada iteración. Este proceso se repite utilizando pequeños incrementos de flujo hasta alcanzar la profundidad máxima de flujo definida. Este procedimiento imita el comportamiento de una inundación que sube lentamente. Con este desarrollo, se puede comprobar que el método converge a una solución que se aproxima a la ecuación de continuidad de flujo a medida que aumenta el número de iteraciones.

En la siguiente imagen se muestran los resultados del análisis de rutas de inundaciones DFM con sucesivas iteraciones en un MDE de alta resolución (1 m píxel) de Fortymile Wash en Amargosa Valley, Nevada publicados en el libro Quantitative Modeling of Earth Surface Processes. Un parámetro inicial necesario para la ejecución de cada una de estas iteraciones es una descarga aguas arriba definida en la ubicación del canal principal en el límite norte del MDE. El valor de descarga se traduce primero a una profundidad de flujo utilizando la ecuación de Manning. Luego, el algoritmo DFM se ejecuta sucesivamente con incrementos mayores de flujo hasta que se alcanza la profundidad de flujo de entrada correspondiente a la descarga aguas arriba. Este algoritmo es útil para identificar canales de distribución y áreas adyacentes de inundación que se activan cuando se exceden ciertas profundidades umbrales de flujo. Esta técnica parte de varias suposiciones que simplifican la estabilidad de un flujo y, por lo tanto, no se puede utilizar para una evaluación detallada del riesgo de inundación. Sin embargo, es un método simple y rápido para identificar las vías de flujo y sus umbrales de inundación y para determinar el riesgo relativo de inundación. Se puede realizar un análisis de rutas de flujo sucesivo para una red de un solo canal maestro especificando el flujo en un límite aguas arriba, o se puede especificar una profundidad de escorrentía uniforme para todo el MDE.

Fuentes

Technical Note: Automatic river network generation for a physically-based river catchment model, 2010. https://hess.copernicus.org/articles/14/1767/2010/hess-14-1767-2010.pdf

Libro Quantitative Modeling Of Earth Surface Proccesses, 2008.

A new triangular multiple flow direction algorithm for computing upslope areas from gridded digital elevation models, 2007. https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/2006WR005128

Comparison of grid-based algorithms for computing upslope contributing area, 2006. https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2005WR004648

Dirección de flujo (Análisis ráster). ArcGIS https://pro.arcgis.com/es/pro-app/2.8/tool-reference/raster-analysis/flow-direction.htm.

NOTA: Todas las imágenes mostradas en esta publicación han sido extraídas de las fuentes anteriores.

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